Preço da opção binomial com dividendos

Este é realmente um exercício de um curso. Mas não compreendo completamente a redação da questão. Um estoque já está sendo comercializado em 100 dólares. Seu preço nos próximos 6 meses evolui como um processo binomial de dois passos. Durante cada período de 3 meses, o preço pode subir por um fator u ou down dfrac. A taxa anual sem risco é de 5 (cont.). Consideramos um europeu colocado com um preço de exercício de K93 dólares e que expira em 6 meses. Parte a) eb) são sobre o preço da colocação usando a abordagem de preços neutra ao risco. Mas a parte c) afirma: Agora suponha que em 3 meses, o estoque paga um dividendo de 10 dólares. Na data de pagamento, o preço das ações ajusta-se imediatamente ao seu nível ex-dividendo e, em seguida, aumenta por um fator u1.1 ou d1u descendente nos próximos 3 meses. Construa uma estratégia de autofinanciamento dinâmico que replica a recompensa da colocação. Tudo bem, então minha pergunta é. Não sei o que acontece quando as pessoas sabem que o estoque vai pagar 10 dólares de dividendos em 3 meses. É durante o próximo período, existem 2 estados: (1001.1-10100, 1001.1-1080.90). Perguntou em 20 de janeiro às 0:41 Então, o acordo é que, como o dividendo é conhecido antecipadamente, a variação do preço das ações que ele causa não deve ser contabilizada como volatilidade. Então, ao invés de iniciar uma árvore binomial com S, você quer começar com o preço antecipado de S, aumentar e diminuir com você e d, e adicionar o valor presente do dividendo ao preço das ações para os nós onde O dividendo ainda não foi distribuído. Portanto, sua árvore se parecerá com algo: Observe que removemos (ou seja, não incluímos) o dividendo na segunda ou terceira colunas. Como disse a QuantK, você precisa ajustar a volatilidade. A idéia é a mesma coisa acima: o dividendo é conhecido, então a volatilidade do preço das ações deve-se às mudanças no preço a prazo. Respondeu 20 de abril 15 às 21:50 Sua resposta 2017 Stack Exchange, IncWe estão preocupados com o problema de preços de opções simples de baunilha com dividendos em dinheiro em um modelo lognormal por partes. No caso plain-vanilla oferecemos um método com limites finais e inferiores finos do preço do binômio verdadeiro. I Introdução Os ativos de ações pagam freqüentemente dividendos em horários discretos e isso produz modificações importantes nos procedimentos numéricos envolvidos no preço da opção. Para as opções simples de baunilha, várias fórmulas próximas e técnicas de aproximação foram investigadas em trabalhos anteriores (ver, por exemplo, Haug-Haug-Lewis 5. Meyer 8. Bos-Wandemark 3. Bos-Gairat-Shepeleva 2. Beneder-Vorst 1). Essas aproximações, como mostrado em (9), não são muito precisas. Além disso, Wilmott et al. 10 apresentaram uma abordagem de diferenças finitas para opções de preços na presença de dividendos em dinheiro. Vellekoop-Nieuwenhuis 9 apresentou uma árvore modificada Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 4 que supera a propriedade não recombinante da árvore CRR padrão quando considerados dividendos discretos. Esses algoritmos baseiam-se principalmente em técnicas de interpolação adequadas em datas de dividendos. Introduzimos diferentes métodos de árvores que cobrem opções europeias e americanas de planície-baunilha na presença de dividendos discretos. No caso plain-vanilla, propomos um algoritmo baseado na abordagem de pontos singulares introduzida em 7. Esta técnica nos permite obter um limite superior e inferior do verdadeiro preço binomial computacionalmente eficiente. Mais precisamente, fornecemos, a cada passo de tempo da árvore, uma representação contínua do preço da opção como uma função linear por partes do preço das ações. Esta função é caracterizada apenas por um conjunto de pontos, denominados 8221sulares suaves8221, que podem ser facilmente calculados recursivamente por indução para trás. Embora o número de pontos singulares cresça rapidamente em cada data de dividendo, seu número pode ser drasticamente reduzido de forma direta, controlando, ao mesmo tempo, o erro envolvido no procedimento de eliminação e fornecendo estimativas superiores e inferiores. O controle do erro permite também obter imediatamente a convergência do método para o valor contínuo. O artigo está organizado da seguinte forma: na Seção 1 apresentamos o modelo do bem de risco, na Seção 2 apresentamos a técnica de pontos singulares. Na Seção 3, apresentamos o algoritmo de pontos singulares para preços de opções européias e americanas com dividendos em dinheiro. Na seção 4 apresentamos os resultados numéricos. 1 O modelo Neste artigo, consideramos um modelo de mercado onde a evolução de um ativo de risco, entre as datas de dividendos envolvendo um pagamento de dividendos em dinheiro, é regida pela equação diferencial estocástica de Black-Scholes onde (B t) 0 x2264 t x2264 T é Um movimento Browniano padrão, sob a medida de risco neutro Q. A constante não negativa r é a força da taxa de juros e x03C3 é a volatilidade do ativo de risco. Para avaliar as opções de barreira simples e barreira neste modelo lognormal por partes com dividendos discretos, consideramos agora uma abordagem binomial. Seja n o número de etapas da árvore binomial e x0394 T o tempo-passo correspondente. Para simplificar a construção da árvore binomial, assumimos na sequência disso. I 1. n D 1. é um número inteiro (caso contrário são necessárias interpolações adequadas na variável de tempo). O processo binomial discreto padrão (sem dividendos) é dado por onde as variáveis ​​aleatórias Y 1. X2026, Y n são independentes e são distribuídos de forma idêntica com valores em. Digamos por x03C0 x2119 (Y n u). A árvore Cox-Ross-Rubinstein corresponde à escolha u e x03C3 e a fim de ter em conta a presença de dividendos, em cada momento t i. I 1. n D. Temos que subtrair o valor do dividendo D i correspondente em cada nó da árvore. Deixe-nos observar que a árvore assim construída não é recombinante. De fato, a presença de dividendos leva a uma nova árvore de cada nó em cada data de pagamento do dividendo. 2 A abordagem dos pontos singulares O preço de opções europeias ou americanas pode ser feito por uma equação de programação dinâmica reversa usando o algoritmo da árvore 8221pure8221 (veja, por exemplo, a descrição dada em Hull 6). No entanto, devido à propriedade não recombinante da árvore binomial, a implementação direta do algoritmo leva a um procedimento ineficiente. Observe que no caso m para todos i 1. n D 1. a complexidade computacional do procedimento é m n D 2. Wilmott et al. 10 sugerem usar uma técnica de interpolação linear para fazer a recombinação da árvore. Mais tarde, Vellekoop e Nieuwenhuis 9 provaram a convergência para o valor contínuo de uma abordagem binomial similar em casos europeus e americanos. Aqui propomos uma abordagem diferente, baseada na técnica de pontos singulares, introduzida em 7. Que permite aproximar o preço do binômio puro com um nível de erro a priori fixo. O procedimento introduzido em 7 pode ser adaptado de forma simples a este contexto. Na sequência, por causa da completude e para esclarecer as diferenças em relação a 7. Nós a apresentamos em detalhes. De acordo com as notações introduzidas em 7, usaremos a próxima definição Definição 1. Consideremos um conjunto de pontos: (x 1, y 1). (X n, y n). De modo que e a função linear por partes f (x). X x2208 a, b. Obtido interpolando linearmente os pontos dados. Os pontos (x 1, y 1). (X n, y n) (que caracterizam completamente f), serão chamados pontos singulares de f. Enquanto x 1. X n serão chamados os valores singulares de f. Deixe-nos notar que f é convexo se e apenas as inclinações estão aumentando, ou seja, x03B1 i x2264 x03B1 i 1 para todos i 1. n - 1. A abordagem do ponto singular permite construir limites superiores e inferiores do preço da opção em um simples Maneira, como apontado na próxima observação (veja também a interpretação geométrica nas Figuras 1 e 2). Observação 1. Seja f uma função linear e convexa por partes definida em a, b. E deixe C 1, y 1). (X n, y n) seja o conjunto de seus pontos singulares. Então: a) Removendo um ponto (x i, y i). 2 x2264 i x2264 n - 1. a partir do conjunto C. a função linear por partes resultante. Cujo conjunto de pontos singulares é C i, y i). É novamente convexo em a, b e temos: b) Digamos por (x. Y) a interseção entre a junção de linha reta (x i - 1, y i - 1). (X i, y i) e a união (x i 1, y i 1). (X i 2, y i 2). 2 x2264 i x2264 n - 2. Se considerarmos o novo conjunto de n-1 pontos singulares, a função linear por partes associada é novamente convexa em a, b e temos: Figurax00A01: estimativa superior: x 4 foi removido. Figura x00A02: estimativa menor: x 3 e x 4 foram removidos, x foi inserido. 3 opções simples de baunilha Vamos considerar uma opção de chamada europeia com dividendos discretos. A abordagem de pontos singulares consiste em um procedimento atrasado que nos permite obter uma representação contínua do preço da opção em cada etapa do tempo como uma função contínua linear por partes do ativo subjacente. Essas funções de preço são caracterizadas por seus pontos singulares. Daí o procedimento de preço depende exclusivamente do conhecimento dos pontos singulares em cada etapa da árvore. É importante notar que o procedimento fornece exatamente o valor binário puro. No entanto, permite obter uma melhoria importante, de fato, o preço binomial pode ser aproximado, removendo alguns pontos singulares seguindo o procedimento descrito na Observação 1 e dando, ao mesmo tempo, um controle do erro. Prosseguimos agora para a descrição da função de preço v i (S) em cada etapa da árvore. Para este fim, temos que avaliar o mínimo e o máximo do ativo de risco no vencimento. Tal máximo e mínimo podem ser avaliados indutivamente na árvore. Denotando por S i min. S i max o mínimo e o valor máximo do subjacente no passo i. I 0. n. Um tem Na maturidade, o preço da opção, como função do bem subjacente S. é continuamente definido por v n (S) é uma função convexa linear por partes caracterizada pelos três pontos singulares (A n l, P n l). L 1. 2. 3 dado por: Claramente, se K x2044x2208 (S n min, S n max), os pontos singulares diminuem para dois. Na etapa i n - 1, é possível concluir que v n - 1 (S) é linear e convexo por partes. Os valores singulares de v n - 1 são S n - 1 min. S n - 1 max. E eventualmente Kd. Ku se pertencem a (S n - 1 min, S n - 1 max). Para calcular os preços das opções correspondentes, temos que aplicar a fórmula (3). Para este fim, observamos, por exemplo, que v n - 1 (Ku) e - r x0394 T x03C0v n (Ku 2) (1 - x03C0) v n (K). Agora v n (K) já é conhecido, enquanto v n (Ku 2) deve ser calculado por linearidade. O mesmo procedimento é válido para os outros pontos singulares também. Então, seguimos iterativamente da mesma maneira para i n - 2. 0. Mais precisamente, avaliamos os valores singulares de v i (S) considerando os valores singulares de v i 1 (S) multiplicados pelo fator de aumento u e pelo fator descendente d. Esses valores se tornam valores singulares de v i (S) se pertencem ao domínio (S i min, S i max). A avaliação dos preços das opções correspondentes deve ser feita de novo pela equação (3). Como antes, esta fórmula precisa do cálculo de v i 1 (Su) e v i 1 (Sd). Um deles será computado diretamente enquanto o último deve ser computado por linearidade. Nas datas de dividendos, o procedimento anterior precisa de um tratamento adicional. Deixe, na verdade, uma data de dividendo e deixe (A i 1, P i 1). (A i L, P i L) os pontos singulares associados a esta data e avaliados pelo procedimento anterior. A presença do dividendo reduz os valores do valor do dividendo D j. Avançando no tempo, temos que aumentar os valores singulares dessa quantidade. Portanto, o novo conjunto de valores singulares torna-se. Este procedimento induz um grande incremento do número de pontos singulares, de fato, devido à propriedade não recombinante, o número de pontos singulares pode dobrar em cada etapa após a data do dividendo. Finalmente, no passo i 0, obtemos apenas um ponto singular: (s 0, P 0 1). P 0 1 fornece o preço binomial puro da opção de chamada européia com múltiplos dividendos discretos. No caso americano, a função v i (S) se torna na data do dividendo t j. Em virtude do deslocamento devido ao dividendo, v i c (S) deve ser calculado. Por isso, em datas de dividendos, aplicamos primeiro a mudança do ativo e, em seguida, a otimização precoce. Esse pedido no cálculo é devido ao fato de que é conveniente exercitar eventualmente apenas antes das datas do dividendo. Isso também implica que, para as opções de venda, a ordem deve ser invertida: após a avaliação do valor de continuação, avaliamos a otimidade do exercício antecipado e, em seguida, aplicamos a mudança de dividendos. Em cada passo, i v i (S) ainda é linear e convexo por partes, daí o procedimento explicado no caso europeu se mantém novamente. A única diferença está relacionada ao cálculo dos pontos singulares. Na verdade, primeiro precisamos avaliar os pontos singulares de v i c (S). Então, temos que avaliar os pontos singulares de v i (S). Por convexidade, isso pode ser feito considerando três possíveis casos: S i max - K x2264 v i c (S i max), em seguida, v i x2261 v i c. Então os pontos singulares não mudam S i max - K x003E v i c (S i max) e S i min - K x2265 v i c (S i min). Então v i (S) x2261 S - K., portanto, existem apenas dois pontos singulares: os extremos. S i max - K x003E v i c (S i max) e S i min - K x003C v i c (S i min). Então existe um valor único S onde o valor de continuação coincide com o exercício inicial. Os pontos singulares de v i são agora: todos aqueles cujo valor singular é menor que S. então (S. S - K) e (S i max, S i max - K) (veja a Figura 3). Figurex00A03: O ponto S foi inserido, A 4 e A 5 foram removidos. Este argumento pode ser aplicado em cada passo i n - 1. 0. Isso permite calcular P 0 1, que fornece o preço binômico americano puro associado à árvore com n etapas. A técnica apresentada anteriormente é ineficiente de um ponto de vista computacional devido ao alto número de pontos singulares gerados em cada data de dividendos. No entanto modificações simples permitem reduzir drasticamente o número de pontos singulares que fornecem um limite superior e inferior do valor binário exato. Para obter um limite superior do preço binário puro, acabamos de remover alguns pontos singulares em cada etapa. A nota 1.a garante que o valor obtido dessa maneira é uma estimativa superior do preço do binômio puro. O critério para remover os pontos singulares é o mesmo que apresentado em 7. Mais precisamente, considere o conjunto de pontos singulares C i 1, P i 1). (A i L, P i L) no passo i. E a função de valor de preço correspondente v i (S). Deixe v x2032 i (S) ser a função de valor de preço obtida removendo um ponto (A il, P il) de C. Nós temos (veja a Figura 4) Referências 1 x00A0x00A0x00A0 Beneder, R. Vorst, T. (2001): Opções Sobre os dividendos que pagam as ações. Desenvolvimentos Recentes em Finanças Matemáticas (Xangai). Riverhedge, NJ: Word Publishing Científica. 2 x00A0x00A0x00A0 Bos, R. Gairat, A. Shepeleva, A. 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